数学的尺度:从小到大的变与不变

2019-06-10 00:06来源:原理

摘要:从了解人类是如何由微小的细胞组成的,到我们会如何影响地球,自相似性、分形性和尺度不变性总能将我们从组织的某一个层面转换到另一个层面。

当你呼入一口气时,你的肺部会随之扩张,这时,你身体里的5亿个直径不到一毫米的微小肺泡就被空气填满。当你呼出这口气时,这些数以亿计的微小气息通过越来越大的气道,毫不费力地融合成一口最终的呼吸。这些气道具有一种奇特的数学结构——它们是分形的。

○ 肺部内所具有的分支,就是自相似的一个例子。| 图片来源:Wikipedia

分形是一种可以在各种尺度上对物体进行描述的数学工具。分形和与分形相关的概念能帮助数学家和物理学家理解事物从小到大的变化。

当我们在思考我们的选择会如何影响世界时,我们实际上是将问题在差异巨大的不同尺度之间进行转换。例如这杯拿铁会导致气候变化吗?这次选举我应该投票吗?这种概念不仅适用于物体,也适用于景观、自然灾害和社会。

分形无处不在

1967年,数学家本华·曼德博(Benoit Mandelbrot)问道:“英国的海岸线有多长?”

○ 英国(大不列颠与北爱尔兰)的卫星图像| 图片来源:NASA

这是一个棘手的问题,答案取决于你如何测量。如果你是在一张地图上描绘出轮廓,你可以得到一个答案;如果你拿着一把米尺沿着海岸线走,那么你会得到一个大不相同的答案。任何用地图估算过蜿蜒的徒步路径的人,都知道这种大尺度地图所具有的“欺骗性”。

这是因为无论是肺部,还是英国的海岸线,亦或是徒步旅行的路径,都具有分形的特点:它们的长度、分支数量或其他的物理量都取决于对它们进行测量时所采用的尺度或分辨率。这就是为什么,当你在看一张航拍的风景照片时,通常很难分辨它的比例尺应该是50千米还是500米。

海岸线也是自相似的——它是由和自己一样的更小复制品组成的。肺部也是自相似的,因为我们的身体会以精确的比例精细地校准每一个分支,让每一个分支都是前一个分支的更小版本。这种模块化设计使得肺在任何尺度下的效率都一样。想想一个孩子与一个成年人,或者一只老鼠、一条鲸鱼,小和大的唯一区别是它们的气道有多少倍的分支。

自相似性和分形性还出现在艺术和建筑学中,在罗马渡槽拱门中的拱门里,也在模仿森林树冠的哥特式大教堂的塔尖上。就连中国古代书法家怀素和严真卿,也对夏日的云彩、漏水房屋里墙壁上的裂缝和水渍所呈现的分形性赞不绝口。

尺度不变性

自相似的物体具有尺度不变性。换句话说,不管它们变得多大,有些性质都永远成立,比如肺的效率。实际上,尺度不变性正是通过描述不变的东西来描述尺度之间的变化。

达芬奇观察到,当树枝分岔时,所有树枝的总横截面积是恒定的。换句话说,从树干到树枝,分枝的数量和直径会随着每一次分岔而变化,但将所有分枝都捆绑在一起时的总厚度会保持不变。达芬奇的观察结果就是一种尺度不变性。

○ 达·芬奇在笔记本上所画的树枝。| 图片来源:Fractal Foundation

地震的频率具有相似的尺度不变性,这是在20世纪40年代观测到的现象。纵观全球,大地震的发生频率并不高,而那些小的地震则几乎每天都在上演。根据古登堡-理查德定律,地震的频率取决于地震的规模。它的含义非常简单,强度是普通地震强10倍的地震,它的发生频率大约是平常的1/10。

社会与幂定律

19世纪的经济学家维弗雷多·帕累托(Vilifredo Pareto,以二八定律闻名)观察到,拥有某一财富值的家庭的数量,与他们的财富成反比,这种反比于某个指数有关。帕累托通过分析不同年份和不同国家的数据,得出这个指数通常在1.5左右。

帕累托的财富分配也被称为幂定律。任何自相似的东西都有相应的幂定律。在一篇于今年4月发表在《物理评论快报》的论文中,Mitchell  Newberry和Van Savage描述了与肺、血管和树木相对应的幂定律。与帕累托幂定律的不同之处在于,他们考虑了分支之间的特定比例。

帕累托认为财富分配是一种自然规律。财富的多少与树枝或血管的大小类似——总是只有少数几根树干或大树枝,然后有成倍增长的小树枝。从了解人类是如何由微小的细胞组成的,到我们会如何影响地球,自相似性、分形性和尺度不变性总能将我们从组织的某一个层面转换到另一个层面。

原文:Mitchell Newberry(密歇根大学复杂系统助理教授) 原文标题为“Mathematics of scale: Big, small and everything in between”,首发于2019年5月24日的The Conversation。原文链接:https://theconversation.com/mathematics-of-scale-big-small-and-everything-in-between-115890. 中文内容略有删减,仅供参考,一切内容以英文原版为准。

预约咨询

400-080-5828

预约咨询